Niestandardowe zadania matematyczne

Konkursy matematyczne są znakomitą okazją do rozwijania umiejętności matematycznych, rozbudzania pasji do tego przedmiotu oraz rywalizacji między uczniami. W książce znajdują się wybrane zadania z konkursów matematycznych wraz z rozwiązaniami albo większą ilością rozwiązań. Wybór zadań jest subiektywny: są to zadania, których jestem autorem, jestem autorem rozwiązania czy też tylko wzbudziły moje zainteresowanie. Chciałem zaprezentować przykładowe zadania z tych konkursów, tj. zadania w formie twierdzeń wraz z dowodami oraz zadania z rozwiązaniami na poziomie szkoły średniej. Wyjątek stanowi rozdział 14, gdzie oprócz rozwiązania elementarnego są cztery rozwiązania z użyciem liczb zespolonych. 

    Książka składa się z 15 rozdziałów, a każdy rozdział dotyczy innego zadania. Zadania starałem się tak ułożyć, aby były z narastającą trudnością.

   Prezentowane zadania i ich rozwiązania pochodzą z:

- międzynarodowego konkursu matematycznego pn. Duel Matematyczny, 

- Konkursu Zadaniowego z dwumiesięcznika Matematyka – czasopismo dla nauczycieli, 

- polskiej Olimpiady Matematycznej, 

- mojego artykułu opublikowanego w australijskim czasopiśmie Mathematics Competitions, 

- konkursu pn. Zajimave matematickie ulohy z czeskiego kwartalnika Matematika – Fyzika – Informatika.

   O większości tych zadań i ich rozwiązaniach mówiłem na międzynarodowych konferencjach pn. Makos, organizowanych w różnych miejscowościach w Czechosłowacji, a potem w Republice Czeskiej. Konferencje przeznaczone są dla organizatorów konkursów matematycznych, a ich uczestnikami są nauczyciele szkół podstawowych, średnich i wyższych, z Republiki Czeskiej i Słowackiej oraz zaproszeni goście. Treści tych wystąpień ukazywały się później w materiałach konferencji. 

   Konkurs matematyczny o nazwie Duel Matematyczny (w skrócie Duel) rozgrywany jest raz w roku między szkołami: Gymniazium im. Mikołaja Kopernika w Bilovci (Republika Czeska), Bundesrealgimnazjum w Grazu (Austria), Gymnzium Jakuba Skody w Prerovie oraz Liceum Ogólnokształcącym im. Juliusza Słowackiego w Chorzowie. Pierwszy konkurs odbył się w 1993 roku w Bilovci i w czterech pierwszych konkursach rywalizowali między sobą uczniowie dwóch szkół: z Bilovci i Chorzowa. Od 5. Duelu w 1997 roku dołączyło do konkursu gimnazjum z Grazu, a od 13. w 2005 roku gimnazjum z Pererova. Zawody odbywają się na zmianę w Bilovci, Prerovie, Chorzowie i Grazu. W prawie trzydziestoletniej historii Duelu w konkursach wystąpiły gościnnie, zaproszone przez organizatora, szkoły z Bielska Białej, Miskolca (2 razy), Ołomuńca, Ploesti (2 razy), Rzymu i Sofii. Jestem (wraz z drem Jaroslavem Svrckiem z Uniwersytetu w Ołomuńcu) jednym z założycieli i organizatorów wszystkich dwudziestu dziewięciu zawodów Duelu.

   W pierwszym dniu zawodów rozgrywany jest konkurs indywidualny: w ciągu 180 minut każdy z uczniów w swojej kategorii rozwiązuje jak najwięcej z czterech zadań. W drugim dniu w konkursie zespołowym w każdej kategorii w ciągu 100 minut wszystkie drużyny otrzymują do rozwiązania trzy zadania.

   Na każdy konkurs potrzebnych jest 21 nowych zadań konkursowych. Corocznie zadania do konkursu wybierają i przygotowują ich rozwiązania oraz zapisują treść w języku angielskim dr Jaroslav Svrcek z Uniwersytetu w Ołomouńcu, dr Robert Geretschlager z Grazu oraz ja. Staramy się aby zadania były w miarę oryginalne, co jednak jest bardzo trudne. 

   Ciekawsze zadania z konkursu Duel wraz z rozwiązaniami ukazały się drukiem w książce: R. Geretschlager, J. Kalinowski, J. Svrcek, A Central European Olympiad: The Mathematical Duel, World Scientific Publishing Co. 2018.

   Zbiór wszystkich liczb naturalnych rozumiany jako zbiór liczb całkowitych nieujemnych oznaczamy przez N. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy przez Z, a zbiór wszystkich liczb rzeczywistych przez  R. Koniec dowodu twierdzenia albo rozwiązania zadania oznaczany jest symbolem □ .

   Rozdziały napisane są niezależnie jeden od drugiego, tzn. w każdym rozdziale literatura, wzory i rysunki mają odrębną numerację. Także przyjęte oznaczenia obowiązują tylko w danym rozdziale.

   W każdym rozdziale, za wyjątkiem pierwszego, rozpatrywane jest jedno zadanie, które jest rozwiązywane, czasem na wiele sposobów. Zadania są tak dobrane, by miały wiele różnych rozwiązań. To starałem się uwypuklić, aby pokazać, że czasem rozwiązań zadań konkursowych może być wiele - jeżeli nie uda się go rozwiązać jedną metodą, to trzeba próbować innego sposobu. W dobie testów nie jest to modne zajęcie, ale niewątpliwie jest kształcące. Nie czuję się autorem wszystkich przedstawionych rozwiązań, czuję się bardziej kolekcjonerem, który zebrał te rozwiązania i ujednolicił rozwiązania tak by ten sam punkt w różnych rozwiązaniach miał to samo oznaczenie, a rozwiązania nadawały się do druku. Starałem się, aby było jak najmniej rysunków, a kilka rozwiązań korzystało z tego samego rysunku. Jeżeli znany mi był autor rozwiązania, to obok rozwiązania podane jest jego nazwisko.

   Książka napisana jest z myślą o nauczycielach i uczniach szkół średnich. Nauczyciel, znając wiele rozwiązań zadania, może dołożyć uczniom jeszcze jedno rozwiązanie. Natomiast uczeń uzdolniony znając wiele różnych sposobów rozwiązań, rozwiązując inne zadanie, gdy wybrany przez niego sposób rozwiązania okaże się nieskuteczny, może zmienić go na inny, wcześniej poznany. Ma wtedy łatwość szybkiej zmiany tych dróg myślowych, które nie prowadzą do rozwiązania problemu. 

   Taka elastyczność procesów myślowych przy rozwiązywaniu zagadnień matematycznych czyli celowe zmienianie sposobów działania, nawyków, przechodzenie od jednego sposobu działania do drugiego, jest potrzebna m.in. na pisemnym egzaminie maturalnym oraz w konkursie Kangur matematyczny. 

Józef Kalinowski